Продолжим изучение этой и простой и сложной темы. Часть 2

Рисунок 1. Пример RL-схемы.

Предположим, что входное напряжение представляет собой синусоидальное напряжение, определяемое формулой:

vs=Vmcos(ωt)

При t = 0 переключатель замкнут, и входной сигнал подается на схему. Можно показать, что ток, текущий по цепи, определяется выражением:

i=−Vm√R2+ω2L2cos(θ)e−(RL)t+Vm√R2+ω2L2cos(ωt−θ)

Где θ — параметр, который зависит от ω, L и R, а первый член в приведенном выше уравнении — это переходный процесс системы. Как следует из названия, переходный отклик является временным и обычно быстро затухает со временем, возможно, за пару миллисекунд. Если мы будем держать переключатель замкнутым в течение достаточно долгого времени, у нас останется только второй член, известный как установившийся отклик системы.

Стационарный отклик представляет собой синусоидальную волну той же частоты, что и входной сигнал. Его фаза и амплитуда могут отличаться от входных, однако он имеет ту же форму и частоту. Хотя выше мы исследовали схему RL, это свойство справедливо для любой другой линейной нестационарной (LTI) системы, будь то сложный усилитель или отрезок провода. Если компонент схемы линеен и не зависит от времени, его установившийся отклик на синусоидальный входной сигнал на частоте ω представляет собой синусоидальную волну той же частоты. Это не относится к другим формам сигналов (например, прямоугольным), где схема может изменить форму сигнала и изменить его амплитуду и фазу.

Стационарный отклик на сумму двух синусоидальных составляющих

В приведенном выше примере мы наблюдаем, что схема меняет входную фазу на -θ и умножает входную амплитуду на коэффициент H, определяемый формулой:

H=1√R2+ω2L2

Это означает, что, имея θ и H, мы можем определить установившийся отклик для синусоидального входного сигнала на любой произвольной частоте ω. Что, если мы одновременно подадим два синусоидальных входных сигнала на ω1 и ω2? Другими словами, как схема отреагирует на следующий ввод:

vs=Vm1cos(ω1t)+Vm2cos(ω2t)

Поскольку схема предполагается линейной, принцип суперпозиции гласит, что общий выходной сигнал равен сумме выходных сигналов, создаваемых отдельными входными компонентами. Таким образом, установившийся ответ:

i=Vm1√R2+ω21L2cos(ω1t−θ1)+Vm2√R2+ω22L2cos(ω2t−θ2)

Где θ1 и θ2 — фазовые сдвиги, испытываемые входными компонентами при ω1 и ω2 соответственно. Следовательно, если мы знаем реакцию на синусоидальные составляющие на разных частотах, мы также можем определить реакцию на сумму произвольных синусоидальных составляющих.

Стационарный отклик на сигнал произвольной формы

Давайте сделаем еще один шаг вперед! Зная реакцию на различные синусоидальные входные сигналы, можем ли мы определить установившуюся реакцию на периодический несинусоидальный сигнал? Например, если мы введем прямоугольный сигнал, изображенный на рисунке 2, как мы сможем определить установившийся отклик схемы?

Обратите внимание, что на рисунке 2 показан только один период входного сигнала; другими словами, предполагается, что часть, изображенная на рисунке, периодически повторяется с течением времени.

Рисунок 2. Пример прямоугольной волны.

Именно здесь выделяется ряд Фурье. Ряд Фурье позволяет нам описывать произвольную периодическую форму волны, такую как указанная выше прямоугольная волна, в терминах синусоидальной формы волны. Поскольку мы знаем реакцию схемы на отдельные синусоидальные компоненты, мы также можем применить теорему суперпозиции, чтобы найти реакцию на сигнал произвольной формы.

Сумма синусоидальных функций: обучение на синусоидальных и прямоугольных волнах

Прежде чем перейти к уравнениям ряда Фурье, давайте попробуем нарисовать качественную картину того, как сумма некоторых синусоидальных функций может представлять произвольную форму сигнала. Рассмотрим приведенный выше прямоугольный сигнал на рисунке 2. Можем ли мы аппроксимировать этот сигнал одной синусоидальной функцией?

Как показано на рисунке 3, синусоидальный сигнал той же частоты, что и прямоугольный сигнал (в данном примере 1 Гц), хорошо вписывается в прямоугольный сигнал и демонстрирует идентичные пересечения нуля вдоль оси x. Пока не будем волноваться о том, как выбирается амплитуда этой синусоиды.

Рисунок 3. Аппроксимация прямоугольного сигнала одной синусоидальной волной.

На приведенном выше рисунке общая форма двух сигналов имеет некоторое сходство, но они все же сильно различаются. Прямоугольная волна остается постоянной в каждом полупериоде. Однако синусоидальная волна достигает максимального и минимального значений в середине положительного и отрицательного полупериода прямоугольной волны соответственно. В отличие от синусоидальной волны, прямоугольная волна меняется на переходах более резко.

В целом кажется, что синусоидальная волна не может догнать резкие изменения прямоугольной волны. В этом случае одиночная синусоидальная волна не кажется приемлемым приближением прямоугольной волны. Однако что, если мы добавим еще одну синусоидальную составляющую? Добавив еще одну синусоидальную волну с соответствующей амплитудой и частотой, мы сможем добиться лучшего приближения. Как показано красной кривой на рисунке 4, эта новая синусоидальная волна в этом примере имеет частоту 3 Гц.

Рисунок 4. Пример синусоидального сигнала с частотой 3 Гц.

Голубая и красная кривые имеют одинаковую полярность вблизи прямоугольных переходов. Следовательно, когда две синусоидальные волны складываются вместе, создается сигнал с более резкими переходами, чем у одной синусоидальной волны. Однако при 0,1667 < t < 0,3333 и 0,6667 < t < 0,8333 две синусоидальные волны имеют противоположную полярность. Благодаря более резким переходам и сглаженным пикам и впадинам сумма двух синусоидальных волн может дать более точное представление (рис. 5).

Рисунок 5. Пример формы двух синусоидальных волн и прямоугольной волны.

Это говорит о том, что, добавляя больше синусоидальных компонентов с соответствующей амплитудой и частотой, мы можем добиться лучшего приближения прямоугольной волны. Например, с 10 правильно выбранными синусоидальными волнами мы получаем форму сигнала, показанную на рисунке 6.

Рисунок 6. Пример, показывающий прямоугольный сигнал и 10 синусоид.

Теперь, когда мы знаем, что периодический сигнал можно представить как сумму синусоидальных составляющих, остается вопрос: как вычисляются эти синусоидальные составляющие для заданной формы сигнала?

Понимание уравнения ряда Фурье — поиск представления ряда Фурье

Предположим, что f(t) — периодический сигнал с периодом T. Мы можем выразить f(t) через бесконечную сумму синусоидальных составляющих следующим образом:

f(t)=a0+∞∑n=1ancos(nω0t)+∞∑n=1bnsin(nω0t)

Уравнение 1.

Где:

• a0, an, and bn Коэффициенты Фурье сигнала

• ω0=2πT0=2 представляют основную (фундаментальную) частоту периодического сигнала 

Частота nω0 известна как n-я гармоника сигнала. Коэффициенты можно рассчитать по следующим уравнениям:

a0=1T∫+T2−T2f(t)dt

Уравнение 2.

an=2T∫+T2−T2f(t)cos(nω0t)dt

Уравнение 3.

bn=2T∫+T2−T2f(t)sin(nω0t)dt

Уравнение 4.

Обратите внимание, что интегралы могут быть взяты по любому произвольному периоду сигнала, а это означает, что это не обязательно должен быть определённый интервал.

Однако это должен быть один полный период сигнала. Правильный выбор начальной точки интеграла может в некоторых случаях сделать вычисления менее громоздкими.

Например, найдем ряд Фурье для периодического напряжения, показанного на рисунке 7.

Рисунок 7. Пример периодического напряжения.

Применяя уравнение 2, мы получаем:

a0=1T∫+T2−T2f(t)dt=1T∫0−T20×dt+1T∫T20A×dt=A2

Далее, уравнение 3 дает коэффициенты an как:

an=2T∫+T2−T2f(t)cos(nω0t)dt=2T∫+T20Acos(nω0t)dt=0

Если вы прочитаете другие материалы из этой серии, посвященную симметрии коэффициентов Фурье, приведенный выше результат не должен вас удивить. После исключения значения постоянного тока прямоугольной волны на рисунке 7 мы получаем сигнал с нечетной симметрией. Для нечетного сигнала an = 0 для всех n.

Наконец, применяя уравнение 4, мы получаем коэффициенты bn следующим образом:

bn=2T∫+T2−T2f(t)sin(nω0t)dt=2T∫+T20Asin(nω0t)dt

Вы можете убедиться, что приведенный выше интеграл равен нулю даже для n. Для нечетных значений n получаем:

bn=2Anπ

Следовательно, подставив наши результаты в уравнение 1, мы можем записать ряд Фурье этого сигнала как:

f(t)=A2+2Aπ∞∑n=1sin((2n−1)ω0t)2n−1

Обратите внимание, как корректируется переменная n, чтобы учесть, что только синусоиды с нечетными кратными ω0 отличны от нуля.

Анализ Фурье — универсальный инструмент анализа цепей

Хотя мы представили ряд Фурье, начиная с его применения в анализе цепей, следует отметить, что ряд Фурье и его варианты широко используются и для других целей. Например, важным инструментом, тесно связанным с рядом Фурье, является дискретное преобразование Фурье (ДПФ), чья вычислительно эффективная реализация известна как быстрое преобразование Фурье (БПФ). БПФ используется в радарах для определения расстояния и скорости цели, а также во многих других приложениях.

Интересно, что анализ Фурье также является поистине универсальным инструментом в природе — настолько, что некоторые люди описывают его как природный способ анализа данных. По словам Питера Мура, профессора биофизики Йельского университета, наши глаза и уши подсознательно выполняют преобразование Фурье для интерпретации звуковых и световых волн.

Ряд Фурье, рассмотренный выше, позволяет нам разложить дискретный сигнал на составляющие его синусоидальные компоненты на разных частотах. Это позволяет нам определить, как мощность сигнала распределяется в частотной области.

Ряд Фурье используется для анализа периодических сигналов. Для апериодической формы сигнала следует использовать обобщение ряда Фурье, известное как преобразование Фурье.

Для всех сигналов, представляющих практический интерес, существует ряд Фурье, а это означает, что сумма синусоидальных составляющих сходится к исходной форме сигнала. Однако с математической точки зрения мы не сможем выразить данную периодическую функцию в виде сходящегося ряда Фурье. Требования, достаточные для обеспечения сходимости, известны как условия Дирихле. Однако это ограничение не представляет серьезной проблемы на практике, поскольку условиям Дирихле удовлетворяют формы сигналов, генерируемые в физических системах.

Магазин