Продовжимо вивчення цієї та простої та складної теми. Частина 2

Малюнок 1. Приклад RL-схеми.

Припустимо, що вхідна напруга є синусоїдальною напругою, що визначається формулою:

vs=Vmcos(ωt)

При t = 0 перемикач замкнутий і вхідний сигнал подається на схему. Можна показати, що струм, поточний ланцюгом, визначається виразом:

i=−Vm√R2+ω2L2cos(θ)e−(RL)t+Vm√R2+ω2L2cos(ωt−θ)

Де θ - параметр, який залежить від ω, L і R, а перший член у наведеному вище рівнянні - це перехідний процес системи. Як випливає з назви, перехідний відгук є тимчасовим і зазвичай швидко згасає з часом, можливо, за кілька мілісекунд. Якщо ми будемо тримати перемикач замкнутим протягом досить довгого часу, у нас залишиться тільки другий член, відомий як відгук системи, що встановився.

Стаціонарний відгук є синусоїдальну хвилю тієї ж частоти, що і вхідний сигнал. Його фаза та амплітуда можуть відрізнятися від вхідних, однак він має ту саму форму та частоту. Хоча вище ми досліджували схему RL, ця властивість справедлива для будь-якої іншої лінійної нестаціонарної (LTI) системи, чи це складний підсилювач або відрізок дроту. Якщо компонент схеми лінійний і не залежить від часу, його відгук, що встановився на синусоїдальний вхідний сигнал на частоті ω являє собою синусоїдальну хвилю тієї ж частоти. Це не стосується інших форм сигналів (наприклад, прямокутних), де схема може змінити форму сигналу та змінити його амплітуду та фазу.

Стаціонарний відгук на суму двох синусоїдальних складових

У наведеному вище прикладі ми спостерігаємо, що схема змінює вхідну фазу -θ і множить вхідну амплітуду на коефіцієнт H, який визначається формулою:

H=1√R2+ω2L2

Це означає, що, маючи θ і H, ми можемо визначити відповідь для синусоїдального вхідного сигналу на будь-якій довільній частоті ω. Що, якщо ми одночасно подамо два синусоїдальні вхідні сигнали на ω1 і ω2? Іншими словами, як схема відреагує на наступне введення:

vs=Vm1cos(ω1t)+Vm2cos(ω2t)

Оскільки схема передбачається лінійною, принцип суперпозиції свідчить, що загальний вихідний сигнал дорівнює сумі вихідних сигналів, створюваних окремими вхідними компонентами. Таким чином, відповідь, що встановилася:

i=Vm1√R2+ω21L2cos(ω1t−θ1)+Vm2√R2+ω22L2cos(ω2t−θ2)

Де θ1 і θ2 - фазові зрушення, що випробовуються вхідними компонентами при ω1 і ω2 відповідно. Отже, якщо ми знаємо реакцію на синусоїдальні складові різних частотах, ми також можемо визначити реакцію на суму довільних синусоїдальних складових.

Стаціонарний відгук на сигнал довільної форми

Давайте зробимо ще один крок уперед! Знаючи реакцію на різні синусоїдальні вхідні сигнали, чи можемо ми визначити реакцію, що встановилася, на періодичний несинусоїдальний сигнал? Наприклад, якщо ми введемо прямокутний сигнал, зображений на малюнку 2, як ми зможемо визначити відгук схеми, що встановився?

Зверніть увагу, що на малюнку 2 показано лише один період вхідного сигналу; іншими словами, передбачається, що частина, зображена малюнку, періодично повторюється з часом.

Малюнок 2. Приклад прямокутної хвилі.

Саме тут виділяється низка Фур'є. Ряд Фур'є дозволяє нам описувати довільну періодичну форму хвилі, таку як зазначена вище прямокутна хвиля, термінах синусоїдальної форми хвилі. Оскільки ми знаємо реакцію схеми окремі синусоїдальні компоненти, ми можемо застосувати теорему суперпозиції, щоб знайти реакцію на сигнал довільної форми.

Сума синусоїдальних функцій: навчання на синусоїдальних та прямокутних хвилях

Перш ніж перейти до рівнянь ряду Фур'є, спробуймо намалювати якісну картину того, як сума деяких синусоїдальних функцій може представляти довільну форму сигналу. Розглянемо наведений вище прямокутний сигнал малюнку 2. Чи можемо ми апроксимувати цей сигнал однією синусоїдальної функцією?

Як показано на малюнку 3, синусоїдальний сигнал тієї ж частоти, що і прямокутний сигнал (у даному прикладі 1 Гц), добре вписується в прямокутний сигнал і демонструє ідентичні перетину нуля вздовж осі x. Поки не хвилюватимемося про те, як вибирається амплітуда цієї синусоїди.

Малюнок 3. Апроксимація прямокутного сигналу однією синусоїдальною хвилею.

На наведеному вище малюнку загальна форма двох сигналів має деяку подібність, але вони все ж таки сильно різняться. Прямокутна хвиля залишається постійною у кожному напівперіоді. Однак синусоїдальна хвиля досягає максимального та мінімального значень у середині позитивного та негативного напівперіоду прямокутної хвилі відповідно. На відміну від синусоїдальної хвилі, прямокутна хвиля змінюється на переходах різкіше.

 Загалом здається, що синусоїдальна хвиля не може наздогнати різких змін прямокутної хвилі. У цьому випадку одиночна синусоїдальна хвиля не видається прийнятним наближенням прямокутної хвилі. Але що, якщо ми додамо ще одну синусоїдальну складову? Додавши ще одну синусоїдальну хвилю з відповідною амплітудою та частотою, ми зможемо досягти кращого наближення. Як показано червоною кривою малюнку 4, ця нова синусоїдальна хвиля у цьому прикладі має частоту 3 Гц.

Малюнок 4. Приклад синусоїдального сигналу із частотою 3 Гц.

Блакитна та червона криві мають однакову полярність поблизу прямокутних переходів. Отже, коли дві синусоїдальні хвилі складаються разом, створюється сигнал з більш різкими переходами, ніж одна синусоїдальна хвиля. Однак при 0,1667 < t < 0,3333 і 0,6667 < t < 0,8333 дві синусоїдальні хвилі мають протилежну полярність. Завдяки різкішим переходам і згладженим пікам і западинам сума двох синусоїдальних хвиль може дати більш точну виставу (рис. 5).

Малюнок 5. Приклад форми двох синусоїдальних хвиль та прямокутної хвилі.

Це говорить про те, що, додаючи більше синусоїдальних компонентів з відповідною амплітудою та частотою, ми можемо досягти кращого наближення прямокутної хвилі. Наприклад, з 10 правильно обраними синусоїдальними хвилями ми отримуємо форму сигналу, показану малюнку 6.

Малюнок 6. Приклад, що показує прямокутний сигнал та 10 синусоїд.

Тепер, коли знаємо, що періодичний сигнал можна як суму синусоїдальних складових, залишається питання: як обчислюються ці синусоїдальні складові для заданої форми сигналу?

Розуміння рівняння ряду Фур'є — пошук уявлення ряду Фур'є

Припустимо, що f(t) — періодичний сигнал із періодом T. Ми можемо виразити f(t) через нескінченну суму синусоїдальних складових таким чином:

f(t)=a0+∞∑n=1ancos(nω0t)+∞∑n=1bnsin(nω0t)

Рівняння 1.

Де:

• a0, an, and bn Коефіцієнти Фур'є сигналу

• ω0=2πT0=2 представляють основну (фундаментальну) частоту періодичного сигналу

Частота nω0 відома як n-я гармоніка сигналу. Коефіцієнти можна розрахувати за такими рівняннями:

a0=1T∫+T2−T2f(t)dt

Рівняння 2.

an=2T∫+T2−T2f(t)cos(nω0t)dt

Рівняння 3.

bn=2T∫+T2−T2f(t)sin(nω0t)dt

Рівняння 4.

Зверніть увагу, що інтеграли можуть бути взяті за будь-яким довільним періодом сигналу, а це означає, що це не обов'язково має бути певний інтервал.

Однак це має бути один повний період сигналу. Правильний вибір початкової точки інтеграла може у випадках зробити обчислення менш громіздкими.

Наприклад, знайдемо ряд Фур'є для періодичного напруги, показаного малюнку 7.

Малюнок 7. Приклад періодичного напруження.

Застосовуючи рівняння 2 ми отримуємо:

a0=1T∫+T2−T2f(t)dt=1T∫0−T20×dt+1T∫T20A×dt=A2

Далі рівняння 3 дає коефіцієнти an як:

an=2T∫+T2−T2f(t)cos(nω0t)dt=2T∫+T20Acos(nω0t)dt=0

Якщо ви прочитаєте інші матеріали з цієї серії, присвячену симетрії коефіцієнтів Фур'є, наведений результат не повинен вас здивувати. Після виключення значення постійного струму прямокутної хвилі малюнку 7 ми отримуємо сигнал з непарною симетрією. Для непарного сигналу an = 0 всім n.

Нарешті, застосовуючи рівняння 4 ми отримуємо коефіцієнти bn наступним чином:

bn=2T∫+T2−T2f(t)sin(nω0t)dt=2T∫+T20Asin(nω0t)dt

Можна переконатися, що наведений вище інтеграл дорівнює нулю навіть для n. Для непарних значень n отримуємо:

bn=2Anπ

Отже, підставивши наші результати рівняння 1, ми можемо записати ряд Фур'є цього сигналу як:

f(t)=A2+2Aπ∞∑n=1sin((2n−1)ω0t)2n−1

Зверніть увагу, як коригується змінна n, щоб врахувати, що тільки синусоїди з непарними кратними ω0 відмінні від нуля.

Аналіз Фур'є – універсальний інструмент аналізу ланцюгів

Хоча ми представили ряд Фур'є, починаючи з його застосування в аналізі ланцюгів, слід зазначити, що ряд Фур'є та його варіанти широко використовуються для інших цілей. Наприклад, важливим інструментом, тісно пов'язаним із рядом Фур'є, є дискретне перетворення Фур'є (ДПФ), чия обчислювально ефективна реалізація відома як швидке перетворення Фур'є (БПФ). БПФ використовується в радарах для визначення відстані та швидкості мети, а також у багатьох інших додатках.

Цікаво, що аналіз Фур'є також є універсальним інструментом у природі — настільки, що деякі люди описують його як природний спосіб аналізу даних. За словами Пітера Мура, професора біофізики Єльського університету, наші очі та вуха підсвідомо виконують перетворення Фур'є для інтерпретації звукових та світлових хвиль.

Ряд Фур'є, розглянутий вище, дозволяє нам розкласти дискретний сигнал на його синусоїдальні компоненти на різних частотах. Це дозволяє визначити, як потужність сигналу розподіляється в частотній області.

Ряд Фур'є використовується для аналізу періодичних сигналів. Для аперіодичної форми сигналу слід використовувати узагальнення ряду Фур'є, відоме як перетворення Фур'є.

Для всіх сигналів, що становлять практичний інтерес, існує ряд Фур'є, а це означає, що сума синусоїдальних складових сходиться до вихідної форми сигналу. Однак з математичної точки зору ми не зможемо висловити цю періодичну функцію у вигляді ряду Фур'є, що сходить. Вимоги, достатні задля забезпечення збіжності, відомі як умови Дирихле. Однак це обмеження не є серйозною проблемою на практиці, оскільки умовам Диріхле задовольняють форми сигналів, що генеруються у фізичних системах.

Магазин Gtest® - авторизований постачальник осцилографів в Україну: https://gtest.com.ua/izmeritelnye-pribory/ostcillografy