ОСЦИЛОГРАФИ. ВЕРТИКАЛЬНИЙ ДОЗВІЛ. ЩО ЦЕ? ЧАСТИНА 3

Магазин Gtest® пропонує широку номенклатуру осцилографів на сторінці сайту в самому кінці цього Розділу, а також рекомендовані прилади та статті для самоосвіти

Спектральний склад шуму

Спектральний вміст шуму важливо розуміти, оскільки це часто є областю поліпшення. Якщо у нас є спектральна щільність, виражена як R(f) в одиницях V(rms)/Гц, то загальний шум у системі дорівнює:

Якщо шум білий (тобто рівномірно розподілений по всій смузі пропускання BW), такий, що R(f) = R, то маємо:

Якби ми зменшили вдвічі смугу пропускання в такій системі, використовуючи жорстке обмеження на рівні BW/2, ми б отримали:

І тому:

Повертаючись до (5), бачимо, що це означає, що SNR покращується на 20·log√2 ≈ 3 дБ, і тому ENOB (тільки через шум) згідно з (6) збільшується на 0,5 біта.

Це припис, що лежить в основі фільтрації з покращеною роздільною здатністю (ERES), хоча типовий застосовуваний фільтр ERES, як правило, не має форми цегляної стіни в цьому прикладі. Проте принцип такий самий. Створюється фільтр, який змушує біти збільшуватись на 0,5 біта для кожного зменшення смуги пропускання вдвічі.

Пам'ятайте, що раніше ми розуміли, що абсолютна верхня межа ENOB для B-бітного дигітайзера вірна лише в тому випадку, якщо корисний контент сигналу охоплює всю смугу Найквіста. Якщо частота дискретизації системи вдвічі-втричі вища за смугу пропускання, то роздільну здатність можна поліпшити, просто відфільтрувавши форму сигналу в цифровому вигляді після отримання. Це означає, що для покращення роздільної здатності можна використовувати просто дискретизацію з більш високою частотою та фільтрацію. Це може здатися нелогічним, але подумайте про це так: якщо ми робимо вибірку з високою частотою, а шум викликаний лише квантуванням, то ми могли б усереднити два сусідні зразки, які, ймовірно, некорельовані, щоб отримати поліпшення на півбіта. Звичайно, це сталося б за рахунок зниження смуги пропускання, але лише на половину частоти Найквіста. Але якби наш корисний сигнальний контент містився лише у першій половині смуги Найквіста, покращення дається власне безкоштовно. Ми поговоримо про це докладніше у наступному розділі.

Фільтрація ERES

Відгук цифрового фільтра виражається як H(z), де при заданій спектральній щільності шуму R(z) вплив фільтра на спектр шуму визначається як:

де контур інтегрування проходить по краю одиничного кола. Це можна спростити, замінивши z (2):

Припускаючи рівномірний розподіл шуму від постійного струму до частоти Найквіста, маємо (3):

(2) Ми довільно вибрали частоту дискретизації як одиницю.

(3) Читач міг би тут чекати σ/√2π, але дубльований шум у негативному спектрі вже враховано, і доречно вказати щільність шуму лише у позитивному спектрі.

Рисунок 5 - Імпульсні характеристики ERES

Фільтрація ERES зазвичай виконується за допомогою гаусівського фільтра [4]. Гаусівський фільтр - це фільтр, імпульсна характеристика якого є гаусовою, що забезпечує ідеальну імпульсну характеристику, в якій немає перерегулювання. Центральна гранична теорема стверджує, що згортка безлічі прямокутних фільтрів дає відгук, який прагне до гаусової форми, і саме так створюються фільтри ERES. Враховуючи це, найпростішим фільтром ERES є двовідвідний прямокутний фільтр з відводами 1, 1. Таким чином, цей фільтр просто усереднює дві точки.

Відгук цього фільтра:

Рисунок 6 - Частотні характеристики ERES

Це так званий ERES фільтр 0,5 біт. Цей результат не повинен дивувати, оскільки ми ефективно усереднюємо дві сусідні точки, і оскільки шум у двох сусідніх точках вибірки передбачається некорельованим, ми отримуємо покращення на половину біта, передбачене в обговоренні усереднення (4).

Щоб ще більше покращити роздільну здатність, ми можемо каскадувати багато етапів S двовідвідних усереднюючих фільтрів, і ми виявляємо, що ефективне поліпшення бітів дорівнює:

(4) Це поліпшення на півбіта можливе лише якщо ширина смуги шуму розширюється до частоти Найквіста, як і передбачали. Якщо ширина смуги шуму не розширюється до частоти Найквіста, спектральна щільність шуму може бути неоднорідною, і ми не можемо отримати повне поліпшення на півбіта.

Щоб вирішити цю проблему, ми використовуємо тотожність (5):

(5) Якщо ви хочете вирішити це самостійно, підійдіть до ∫cosⁿ(a·x)dx, використовуючи заміну u·dv з u = cosⁿ⁻¹(a·x) і dv = cos(a·x)dx. (6) Коли S = 1, вам потрібно взяти межу при S → 1, і ви отримаєте f₃дБ = ½.

І таким чином:

Таким чином, для заданої кількості етапів покращення в бітах можна записати як наведено у формулі вище.

Продовження слідує…

осцилографи: вертикальний дозвіл, частина 4

Магазин Gtest® - авторизований постачальник осцилографів в Україну: купити осцилограф в Україні