ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Часто упоминают, но никто толком не знает что это. Часть 1

Магазин Gtest(R) предлагает широкую номенклатуру осциллографов на приводимой страничке сайта в самом конце настоящего Раздела, а также рекомендуемые приборы и статьи для самообразования  

Что такое преобразование Фурье?

Эта статья предоставляет интересную, и, главное, важную информацию о математическом алгоритме, который играет фундаментальную роль в проектировании электронных/электротехнических систем и обработке сигналов.

Преобразование Фурье, названное в честь французского математика Жозефа Фурье, является математической процедурой, которая позволяет определять частотное содержание цифровых сигналов. Инженеры-электрики обычно применяют преобразование Фурье к функциям времени, которые по своей сути есть сигналы.

Данная статья особенно важна для пользователей Осциллографами и Анализаторами спектра.

Синусоидальное разложение

График зависимости напряжения или тока от времени, который представлен на дисплее осциллографа, является интуитивным представлением параметров сигнала. Однако это не единственное полезное представление.

В большинстве случаев, например при проектировании радиочастотных систем, нас интересует, прежде всего, периодически меняющиеся значения сигналов. Выряжаясь точнее, мы заинтересованы в понимании сигнала с точки зрения формата его синусоидальной составляющей, поскольку именно синусоиды есть уникальное математическое выражение «чистой» частоты.

Преобразование Фурье рассчитывает элементарную периодичность сигнала путем разложения этого самого сигнала на составляющие его синусоидальные частоты и определения величин и фаз этих составляющих частот.

Слово «расcчитывание» или, точнее, «разложение» здесь имеет решающее значение. Преобразование Фурье заставляет нас представлять сигнал во временной области в виде формы волны, состоящей из основных синусоидальных сигналов с различными величинами и фазами.

Например, прямоугольную волну можно разложить на бесконечную последовательность синусоид с постоянно уменьшающимися амплитудами и постоянно увеличивающимися частотами. Точный ряд для прямоугольной волны, связанной по переменному току, с периодом T и амплитудой A, можно изложить как формулу:

fsquare(t)=4Aπ∑k∈{1,3,5,...}1ksin(2πktT)

Возможно преобразовать это в следующую форму, которая более интуитивно понятна:

fsquare(t)=4Aπ(sin(2πft)+13sin(6πft)+15sin(10πft)+ ...)

где f — частота прямоугольной волны в герцах.

На нижеприводимом графике показана исходная прямоугольная волна синим цветом и первые восемь синусоид в бесконечной серии.

Квадратичная волна и её непрерывные синусоиды

Изучив этот график, возможно, все же останется скепсис относительного того, что эти синусоиды можно преобразовать в прямоугольную волну. Однако следующий сюжет будет более убедительным. На нем представлен исходный прямоугольный сигнал и его форма, полученная путем сложения всех составляющих синусоид, показанных выше.

Сложение множества синусоид, сходящихся в квадратичную форму волны

Функции времени и частоты

Когда задействуется функция преобразования Фурье, то в начале задействуется функция времени f(t) и посредством математического разложения получается функция частоты F(ω). (Обычно задействуется угловая частота, когда обсуждается функция преобразования Фурье.)

Расчёт F(ω) при некоторой конкретной угловой частоте, например, 100 rad/с, дает величину и фазу синусоидальной составляющей f(t), которая имеет частоту 100 rad/с. Если f(t) не имеет синусоидальной составляющей при скорости 100 rad/с, величина будет равна нулю.

Представляет интерес, как одна функция F(ω) может сообщать и величину, и фазу. Преобразование Фурье генерирует комплексную функцию, а это означает, что само преобразование не является ни величиной частотных компонентов в f (t), ни фазой этих компонентов. Как и в случае с любым комплексным числом, необходимо провести дополнительные вычисления, чтобы извлечь значения величины или фазы.

Концепция комплексного преобразования более интуитивна, когда мы работаем с дискретным преобразованием Фурье, чем со «стандартным» преобразованием, в котором мы начинаем с символической функции времени и заканчиваем символической функцией частоты.

Дискретное преобразование Фурье работает с последовательностью числовых значений и создает последовательность коэффициентов Фурье . Эти коэффициенты являют собой типичные комплексные числа (т. е. они имеют форму a + jb), и, как правило, используются величины этих комплексных чисел, рассчитанные при анализе частотного содержания сигнала как √(a 2 +b 2 ),.

Построение преобразования Фурье

Графики частотного содержания цифровых сигналов очень популярны в таблицах данных, отчетах об испытаниях, учебниках и т. д. Мы часто называем «спектром» график зависимости величины сигнала от его частоты. Например, фраза «давайте взглянем на спектр сигнала» переводится как «давайте взглянем на какое-то визуальное представление информации о величине в преобразовании Фурье».

На нижеприводимом графике представлен спектр прямоугольной волны, связанной по переменному току, с амплитудой 1 и частотой 1 Гц.

Частотный спектр квадратичной волны 1 Гц

Если провести сравнение нанесенных на графике амплитуд частотных «выбросов» с амплитудами соответствующих синусоидальных составляющих в бесконечной последовательности, что обсуждалось выше, то совершенно очевидно, что они согласуются.

Вычисление преобразования Фурье

Конец статьи близок, потому важно усвоить, как на самом деле генерируется преобразование Фурье математически определенного сигнала.

Нет необходимости детального изучения математических подробностей: в частотном анализе в настоящее время преобладают комфортные для пользователей прикладные программы, и инженеры не тратят много времени на преобразование символьного времени и выражения домена в символические выражения частотной области.

Поскольку речь идет о чем-то важном, как то функция Преобразование Фурье, полезно хотя бы быть в курсе лежащей в его основе математической составляющей.

Вот как преобразовывается f(t) в F(ω):

F(ω)=+∞∫−∞f(t)e−jωtdt

Выводы

Целью настоящей статьи является попытка дать более-менее чёткое пояснение того, что же на самом деле есть преобразование Фурье и как оно гарантирует дополнительное понимание природы сигнала.

Более подробную информацию на эту тему можно легко отыскать в открытых источниках.

Магазин Gtest® - авторизованный поставщик осциллографов в Украину: https://gtest.com.ua/izmeritelnye-pribory/ostcillografy