ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є. Часто згадують, але ніхто до ладу не знає що це. Частина 1

Магазин Gtest(R) пропонує широку номенклатуру осцилографів на сторінці сайту в самому кінці цього Розділу, а також рекомендовані прилади та статті для самоосвіти

Що таке перетворення Фур'є?

Ця стаття надає цікаву, і, головне, важливу інформацію про математичний алгоритм, який відіграє фундаментальну роль у проектуванні електронних/електротехнічних систем та обробці сигналів.

Перетворення Фур'є, назване на честь французького математика Жозефа Фур'є, є математичною процедурою, що дозволяє визначати частотний вміст цифрових сигналів. Інженери-електрики зазвичай застосовують перетворення Фур'є до функцій часу, які за своєю суттю є сигналами.

Ця стаття особливо важлива для користувачів Осцилографами та Аналізаторами спектру.

Синусоїдальне розкладання

Графік залежності напруги або струму від часу, який представлений на дисплеї осцилографа, є інтуїтивним поданням параметрів сигналу. Однак це не єдина корисна вистава.

У більшості випадків, наприклад при проектуванні радіочастотних систем, нас цікавить, перш за все, значення сигналів, що періодично змінюються. Виряджаючи точніше, ми зацікавлені у розумінні сигналу з погляду формату його синусоїдальної складової, оскільки саме синусоїди є унікальним математичним виразом «чистої» частоти.

Перетворення Фур'є розраховує елементарну періодичність сигналу шляхом розкладання цього сигналу на складові його синусоїдальні частоти і визначення величин і фаз цих складових частот.

Слово "розрахунок" або, точніше, "розкладання" тут має вирішальне значення. Перетворення Фур'є змушує нас представляти сигнал у часовій області у вигляді форми хвилі, що складається з основних синусоїдальних сигналів з різними величинами та фазами.

Наприклад, прямокутну хвилю можна розкласти на нескінченну послідовність синусоїд з постійно зменшуються амплітудами і частотами, що постійно збільшуються. Точний ряд прямокутної хвилі, пов'язаної по змінному струму, з періодом T і амплітудою A, можна викласти як формулу:

fsquare(t)=4Aπ∑k∈{1,3,5,...}1ksin(2πktT)

Можливо перетворити це на наступну форму, яка більш інтуїтивно зрозуміла:

fsquare(t)=4Aπ(sin(2πft)+13sin(6πft)+15sin(10πft)+ ...)

 де f - Частота прямокутної хвилі в герцах.

На наведеному нижче графіку показана вихідна прямокутна хвиля синім кольором і перші вісім синусоїд в нескінченній серії.

Квадратична хвиля та її безперервні синусоїди

Вивчивши цей графік, можливо, все ж таки залишиться скепсис відносного того, що ці синусоїди можна перетворити на прямокутну хвилю. Однак наступний сюжет буде переконливішим. На ньому представлений вихідний прямокутний сигнал та його форма, отримана шляхом додавання всіх складових синусоїд, показаних вище.

Додавання безлічі синусоїд, що сходяться у квадратичну форму хвилі

Функції часу та частоти

Коли задіюється функція перетворення Фур'є, то спочатку задіюється функція часу f(t) і за допомогою математичного розкладання виходить функція частоти F(ω). (Зазвичай використовується кутова частота, коли обговорюється функція перетворення Фур'є.)

Розрахунок F(ω) при деякій конкретній кутовий частоті, наприклад, 100 rad/с, дає величину і фазу синусоїдальної складової f(t), яка має частоту 100 rad/с. Якщо f(t) не має синусоїдальної складової при швидкості 100 rad/с, величина дорівнюватиме нулю.

Цікавить, як одна функція F(ω) може повідомляти і величину, і фазу. Перетворення Фур'є генерує комплексну функцію, а це означає, що саме перетворення не є ні величиною частотних компонентів f (t), ні фазою цих компонентів. Як і у випадку з будь-яким комплексним числом, необхідно провести додаткові обчислення, щоб отримати значення величини чи фази.

Концепція комплексного перетворення інтуїтивніша, коли ми працюємо з дискретним перетворенням Фур'є, ніж зі «стандартним» перетворенням, в якому ми починаємо з символічної функції часу і закінчуємо символічною функцією частоти.

Дискретне перетворення Фур'є працює з послідовністю числових значень і створює послідовність коефіцієнтів Фур'є. Ці коефіцієнти являють собою типові комплексні числа (тобто вони мають форму a + jb), і, як правило, використовуються величини цих комплексних чисел, розраховані при аналізі частотного змісту сигналу як √(a 2 +b 2 ).

Побудова перетворення Фур'є

Графіки частотного змісту цифрових сигналів дуже популярні в таблицях даних, звітах про випробування, підручники і т. д. Ми часто називаємо «спектром» графік залежності величини сигналу від його частоти. Наприклад, фраза «давайте поглянемо на спектр сигналу» перекладається як «погляньмо на якесь візуальне уявлення інформації про величину в перетворенні Фур'є».

На наведеному нижче графіку представлений спектр прямокутної хвилі, пов'язаної по змінному струму, з амплітудою 1 і частотою 1 Гц.

Частотний спектр квадратичної хвилі 1 Гц

Якщо провести порівняння нанесених на графіку амплітуд частотних «викидів» з амплітудами відповідних синусоїдальних складових у нескінченній послідовності, що обговорювалося вище, цілком очевидно, що вони узгоджуються.

Обчислення перетворення Фур'є

Кінець статті близький, тому важливо засвоїти, як насправді генерується перетворення Фур'є математично визначеного сигналу.

Немає необхідності детального вивчення математичних подробиць: у частотному аналізі в даний час переважають комфортні для користувачів прикладні програми, і інженери не витрачають багато часу на перетворення символьного часу та виразу домену на символічні вирази частотної області.

Оскільки йдеться про щось важливе, як то функція Перетворення Фур'є, корисно хоча б бути в курсі математичної складової, що лежить в його основі.

Ось як перетворюється f(t) на F(ω):

F(ω)=+∞∫−∞f(t)e−jωtdt

Висновки

Метою цієї статті є спроба дати більш-менш чітке пояснення того, що насправді є перетворення Фур'є і як воно гарантує додаткове розуміння природи сигналу.

Більш детальну інформацію на цю тему можна легко знайти у відкритих джерелах.

Магазин Gtest® - авторизований постачальник осцилографів в Україну: https://gtest.com.ua/izmeritelnye-pribory/ostcillografy